ماهيت همخطي

     همخطي در اصل به معناي وجود ارتباط خطي كامل يا دقيق بين همه يا بعضي از متغيرهاي توضيحي مدل رگرسيون مي‌‌باشد. براي رگرسيون k متغيره با متغيرهاي توضيحي X1,…,Xk (كه در تمام مشاهدات براي جزء عرض از مبدأ 1=x1 منظور مي‌‌شود.)

ارتباط خطي دقيق وجود دارد  اگر:   

(1-10)

       ها مقادير ثابتي هستند كه همه آنها به طور هم زمان صفر نيستند.

- اصطلاح هم خطي در مفهومي كلي هم شامل همخطي كامل و هم شامل همخطي ناقص مي‌‌گردد.

جزء خطاي آماري: Vi 

اگر               رابطه (2-10) چنين خواهد بود:

2Xتركيب خطي دقيق از ساير Xها نيست چرا كه جزء خطاي آماري Vi نيز در تعيين مقدار 2X  نقش دارد.

نمودار بالتين:

   در اين شكل دواير Y و 2X و 3X به‌ترتيب بيانگر تغييرات در Y و 2X و 3X مي‌‌باشد. درجه همخطي را مي‌‌توان به‌وسيلة سطح مشترك دواير 2   Xو 3X اندازه‌گيري نمود.

در حالت همخطي كامل، ضرايب رگرسيون، نامعين و انحراف معيارهاي مربوطه‌شان بي‌نهايت مي‌‌باشند.

به‌طور مثال:

با فرض                  كه در آن               خواهيم داشت:

كه يك عبارت نامعين است.

تخمين در حالت وجود همخطي شديد اما غير كامل          

                   و vi  جزء خطاي آماري است به‌طوري كه:

 (1-3-10)

(2-3-10)

   در اين جا برخلاف حالت قبل دليلي دال بر عدم قابليت تخمين نداريم. البته اگر vi  به حد كافي كوچك باشد (خيلي نزديك به صفر) آنگاه رابطه  (1-3-10) بر همخطي تقريباً كامل دلالت داشته لذا به حالت نامعين بازمي‌گرديم.

+

الف) بزرگي واريانس و كوواريانس تخمين‌زنهاي  OLS:

هرچه          به طرف يك ميل كند (يعني هر چه همخطي افزايش يابد) واريانسهاي هر دو تخمين افزايش مي‌‌يابد.                                                        

ج) نسبتهاي t غير معنادار :

                              در حالتهاي همخطي زياد انحراف معيارهاي تخمين‌زنها افزايش مي‌‌يابد لذا مقادير t را كوچكتر مي‌‌سازد.

د) R2 بالا اما تعداد اندك نسبتهاي معنا‌دار:

يكي از علائم همخطي معني‌دارنبودن مقادير t همزمان با R2 بسيار بالاست.

ه) حساسيت تخمين‌زنهاي OLS و خطاي معيار آنها نسبت به تغييرات اندك در داده‌ها:

با توجه به جدول (3-10):

با تعويض مقادير سوم و چهارم   3X

           نتيجه تغيير جزيي در داده‌ها اين است كه قبلاً در سطح 10% از لحاظ آماري معني‌دار بود،اكنون ديگرمعني دار نيست.